【matlab】矩阵的相关操作及运算

博主：本当迷
发布时间：2021 年 12 月 16 日
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4895字数
分类：学习语言

## 矩阵元素存储次序：

在matlab中，元素在内存中存储方式是按“列”存储的，并且矩阵不是从0开始存储而是从1开始存储。

### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3, 4;
     5, 6, 7, 8;
     9, 10, 11, 12]
```

第5个元素为：6；（从列数）

## 矩阵元素的相关操作：

### 下标公式：

假如有一个 m * n 矩阵，矩阵元素A（i，j）；

那么元素A在矩阵的下标位置为：`（j - 1）* m + i`

### 利用下标取矩阵的元素：

```matlab
c = (i, j); %取矩阵第i行第j列元素

c = (i); %取矩阵第i个元素，注意我们得从列方向数

c = (a : b); %取矩阵从 下标a ~ 下标b 的所有元素（包含a、b）
```

### 矩阵元素的赋值：

矩阵元素的赋值有三种方式：全下标方式、单下标方式、全元素方式。（利用单下标方式和全元素方式赋值的矩阵必须是被引用过的矩阵）

#### 全下标方式：

```matlab
a(1 : 2, 1 : 3) = [1, 1, 1; 1, 1, 1]; %给矩阵的 1 ~ 2行和1 ~ 3列赋值
```

#### 单下标方式：

```matlab
%首先创建了一个i * j的矩阵a
a(3) = 5; %给矩阵a下标为3的位置赋值为5
```

#### 全元素方式：

```matlab
%首先创建了一个3 * 3的矩阵a
a(:) =1:9;
```

### 矩阵元素的删除：

利用： 空矩阵[]，可将矩阵中的单个元素、某行、某列、某矩阵子块、整个矩阵进行删除。

#### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9];
a(2,:) = [];%删除a矩阵的第二行的所有列，‘:’可代表整行，整列
a(1:2) = [];%删除a矩阵下标为1、2的元素，并且矩阵会变成向量
a(:) = [];%删除矩阵a所有元素
```

### 矩阵的创建：

矩阵创建的规则：

* 矩阵的所以元素必须放在放括号[]内；
* 每行的元素之间需用逗号或空格隔开；
* 矩阵的行和行之间用分号或回车符分隔；
* 元素可以是数值或表达式；

</div>

#### 直接输入法：

适用于建立规模较小的矩阵

```matlab
a = [1, 2, 3, ...];
```

#### 抽取法：

适用于从大矩阵中抽取出小矩阵来

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
b = a(2 : 3, 2 : 3);%提取a矩阵的2、3行与2、3列
```

#### 拼接法：

行数和行数相同的小矩阵可在列方向上拼接成更大的矩阵。同理，列数和列数相同的小矩阵可在行方向上拼接成更大的矩阵。

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6;];%2行3列矩阵
b = [7, 8, 9];%1行3列矩阵
c = [a; b];%拼接成3行3列矩阵
```

#### 函数法：

zeros(m, n); 生成m*n阶的全0矩阵

ones(m, n); 生成m*n阶的全1矩阵

rand(m, n);生成m*n阶的满足0~1之间均匀分布的矩阵

randm(m, n);生成m*n阶满足正态分布的随机矩阵

eye(m, n);生成m*n阶的单位矩阵

magic(n);生成n*n阶魔方矩阵（每行、列、以及对角线之和相等并且等于（n^3 + n）/ 2的矩阵）

pascal(n);生成n*n阶帕斯卡矩阵（在我们中国称为的杨辉三角）

</div>

#### cat拼接函数：

##### 使用格式：

`c = cat(n, a1, a2, a3, ...);` n = 1,表示沿行方向拼接；n = 2, 表示沿列方向拼接。

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3];
b = [4, 5, 6; 4, 5, 6; 4, 5, 6];
c = cat(1, a, b);%按行方向拼接
%运行结果
c =

1     2     3
     1     2     3
     1     2     3
     4     5     6
     4     5     6
     4     5     6
c = cat(2, a, b);%按列方向拼接
%运行结果
c =

1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
```

#### repmat拼接函数：

##### 使用格式：

`c = repmat(a, m, n); `m和n分别表示沿行和列方向重复拼接a

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = repmat(a, 3, 3);%把a看成一个整体，拼接成3*3的矩阵
%运算结果
c =

1     2     3     1     2     3     1     2     3
     4     5     6     4     5     6     4     5     6
     1     2     3     1     2     3     1     2     3
     4     5     6     4     5     6     4     5     6
     1     2     3     1     2     3     1     2     3
     4     5     6     4     5     6     4     5     6

```

#### reshape变形函数：

##### 使用格式：

`c = reshape(a, m, n); `a为旧矩阵，m和n为变形后新矩阵c的行数和列数

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = reshape(a, 3, 2);%将原2*3阶矩阵变形为3*2阶矩阵
%运算结果
c =

1     5
     4     3
     2     6
```

## 矩阵的运算：

### 求矩阵行列式的值：

#### 使用格式：

`c = det(a);`

a代表待求矩阵，c代表矩阵行列式的值

#### 举例：

```matlab
a = [3, 2, 4; 1 , -1, 5; 2, -1, 3];
c = det(a);
```

### 矩阵的加、减、数乘运算：

矩阵对应元素可直接进行加、减、乘运算，不需要借助辅助函数, 但进行运算的矩阵必须是同阶矩阵。

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
b = [5, 6, 7; 8, 9, 10];
c = a - b;%矩阵的减法运算
c = a + b;%矩阵的加法运算
c = a .* b;%矩阵的乘法运算
```

### 求矩阵的逆矩阵：

#### 逆矩阵定义：

对于一个方阵a, 如果存在一个与其同阶的方阵b,使得ab=ba=1(1为单位矩阵)，则称b为a的逆矩阵，当然a也是b的逆矩阵。

#### 使用格式：

`c = inv(a);`

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = inv(a);
```

### 矩阵的除法：

#### 矩阵的左除：

`a\b = inv(a)*b;`

#### 矩阵的右除：

`a/b = a*inv(b);`

### 求矩阵的秩：

#### 使用格式：

`c = rank(a);`

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = rank(a);
```

### 求矩阵的特征值和特征向量：

#### 使用格式：

`[p, q] = eig(a); `q代表特征值矩阵，p代表特征向量矩阵

#### 例如：

```matlab
a = [1, -3, 3; 3, -5, 3; 6, -6, 4];
[p, q] = eig(a);
%运算结果：
p =

-0.4082   -0.8103    0.1933
   -0.4082   -0.3185   -0.5904
   -0.8165    0.4918   -0.7836

q =

4.0000         0         0
         0   -2.0000         0
         0         0   -2.0000
%q中特征值4对于的特征向量为[-0.4082, -0.4082, -0.8165]；相信特征值和特征向量的对应规律很容易看出来了
```

### 矩阵的乘方与开方：

`矩阵的乘方运算符：（^）`

`矩阵的开方函数：sqrtm(a)`

注意：矩阵的乘方与开方运算是以矩阵作为一个整体进行运算的，而非针对元素的运算。

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
b = a^2;
c = sqrtm(a);
```

### 矩阵的指数与对数运算：

`指数运算函数：expm(a);`

`对数运算函数：logm(a);`

### 矩阵的转置：

可利用转置符（'）进行对矩阵的转置

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
b = a';%这就实现了对a的转置
```

## 矩阵的提取与翻转：

triu(a);提取矩阵a右上三角元素，其余元素补0

tril(a);提取矩阵a左下三角元素，其余元素补0

diag(a);提取矩阵a的对角线元素

filpud(a);矩阵a沿水平轴上下翻转

filplr(a);矩阵a沿垂直左右翻转

filpdim(a, dim);矩阵a沿特定轴翻转。dim = 1,按行翻转，dim = 2, 按列翻转

rot90(a);矩阵a整体逆时针旋转90度

</div>

最后修改：2021 年 12 月 16 日

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【matlab】矩阵的相关操作及运算

本当迷 • 2021 年 12 月 16 日

## 矩阵元素存储次序：

在matlab中，元素在内存中存储方式是按“列”存储的，并且矩阵不是从0开始存储而是从1开始存储。

### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3, 4;
     5, 6, 7, 8;
     9, 10, 11, 12]
```

第5个元素为：6；（从列数）

## 矩阵元素的相关操作：

### 下标公式：

假如有一个 m * n 矩阵，矩阵元素A（i，j）；

那么元素A在矩阵的下标位置为：`（j - 1）* m + i`

### 利用下标取矩阵的元素：

```matlab
c = (i, j); %取矩阵第i行第j列元素

c = (i); %取矩阵第i个元素，注意我们得从列方向数

c = (a : b); %取矩阵从 下标a ~ 下标b 的所有元素（包含a、b）
```

### 矩阵元素的赋值：

矩阵元素的赋值有三种方式：全下标方式、单下标方式、全元素方式。（利用单下标方式和全元素方式赋值的矩阵必须是被引用过的矩阵）

#### 全下标方式：

```matlab
a(1 : 2, 1 : 3) = [1, 1, 1; 1, 1, 1]; %给矩阵的 1 ~ 2行和1 ~ 3列赋值
```

#### 单下标方式：

```matlab
%首先创建了一个i * j的矩阵a
a(3) = 5; %给矩阵a下标为3的位置赋值为5
```

#### 全元素方式：

```matlab
%首先创建了一个3 * 3的矩阵a
a(:) =1:9;
```

### 矩阵元素的删除：

利用： 空矩阵[]，可将矩阵中的单个元素、某行、某列、某矩阵子块、整个矩阵进行删除。

#### 例如：

### 矩阵的创建：

矩阵创建的规则：

</div>

#### 直接输入法：

适用于建立规模较小的矩阵

```matlab
a = [1, 2, 3, ...];
```

#### 抽取法：

适用于从大矩阵中抽取出小矩阵来

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
b = a(2 : 3, 2 : 3);%提取a矩阵的2、3行与2、3列
```

#### 拼接法：

行数和行数相同的小矩阵可在列方向上拼接成更大的矩阵。同理，列数和列数相同的小矩阵可在行方向上拼接成更大的矩阵。

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6;];%2行3列矩阵
b = [7, 8, 9];%1行3列矩阵
c = [a; b];%拼接成3行3列矩阵
```

#### 函数法：

zeros(m, n); 生成m*n阶的全0矩阵

ones(m, n); 生成m*n阶的全1矩阵

rand(m, n);生成m*n阶的满足0~1之间均匀分布的矩阵

randm(m, n);生成m*n阶满足正态分布的随机矩阵

eye(m, n);生成m*n阶的单位矩阵

magic(n);生成n*n阶魔方矩阵（每行、列、以及对角线之和相等并且等于（n^3 + n）/ 2的矩阵）

pascal(n);生成n*n阶帕斯卡矩阵（在我们中国称为的杨辉三角）

</div>

#### cat拼接函数：

##### 使用格式：

`c = cat(n, a1, a2, a3, ...);` n = 1,表示沿行方向拼接；n = 2, 表示沿列方向拼接。

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3];
b = [4, 5, 6; 4, 5, 6; 4, 5, 6];
c = cat(1, a, b);%按行方向拼接
%运行结果
c =

1     2     3
     1     2     3
     1     2     3
     4     5     6
     4     5     6
     4     5     6
c = cat(2, a, b);%按列方向拼接
%运行结果
c =

1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
```

#### repmat拼接函数：

##### 使用格式：

`c = repmat(a, m, n); `m和n分别表示沿行和列方向重复拼接a

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = repmat(a, 3, 3);%把a看成一个整体，拼接成3*3的矩阵
%运算结果
c =

```

#### reshape变形函数：

##### 使用格式：

`c = reshape(a, m, n); `a为旧矩阵，m和n为变形后新矩阵c的行数和列数

##### 例如：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = reshape(a, 3, 2);%将原2*3阶矩阵变形为3*2阶矩阵
%运算结果
c =

1     5
     4     3
     2     6
```

## 矩阵的运算：

### 求矩阵行列式的值：

#### 使用格式：

`c = det(a);`

a代表待求矩阵，c代表矩阵行列式的值

#### 举例：

```matlab
a = [3, 2, 4; 1 , -1, 5; 2, -1, 3];
c = det(a);
```

### 矩阵的加、减、数乘运算：

矩阵对应元素可直接进行加、减、乘运算，不需要借助辅助函数, 但进行运算的矩阵必须是同阶矩阵。

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
b = [5, 6, 7; 8, 9, 10];
c = a - b;%矩阵的减法运算
c = a + b;%矩阵的加法运算
c = a .* b;%矩阵的乘法运算
```

### 求矩阵的逆矩阵：

#### 逆矩阵定义：

对于一个方阵a, 如果存在一个与其同阶的方阵b,使得ab=ba=1(1为单位矩阵)，则称b为a的逆矩阵，当然a也是b的逆矩阵。

#### 使用格式：

`c = inv(a);`

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = inv(a);
```

### 矩阵的除法：

#### 矩阵的左除：

`a\b = inv(a)*b;`

#### 矩阵的右除：

`a/b = a*inv(b);`

### 求矩阵的秩：

#### 使用格式：

`c = rank(a);`

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
c = rank(a);
```

### 求矩阵的特征值和特征向量：

#### 使用格式：

`[p, q] = eig(a); `q代表特征值矩阵，p代表特征向量矩阵

#### 例如：

```matlab
a = [1, -3, 3; 3, -5, 3; 6, -6, 4];
[p, q] = eig(a);
%运算结果：
p =

-0.4082   -0.8103    0.1933
   -0.4082   -0.3185   -0.5904
   -0.8165    0.4918   -0.7836

q =

### 矩阵的乘方与开方：

`矩阵的乘方运算符：（^）`

`矩阵的开方函数：sqrtm(a)`

注意：矩阵的乘方与开方运算是以矩阵作为一个整体进行运算的，而非针对元素的运算。

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
b = a^2;
c = sqrtm(a);
```

### 矩阵的指数与对数运算：

`指数运算函数：expm(a);`

`对数运算函数：logm(a);`

### 矩阵的转置：

可利用转置符（'）进行对矩阵的转置

#### 举例：

```matlab
a = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
b = a';%这就实现了对a的转置
```

## 矩阵的提取与翻转：

triu(a);提取矩阵a右上三角元素，其余元素补0

tril(a);提取矩阵a左下三角元素，其余元素补0

diag(a);提取矩阵a的对角线元素

filpud(a);矩阵a沿水平轴上下翻转

filplr(a);矩阵a沿垂直左右翻转

filpdim(a, dim);矩阵a沿特定轴翻转。dim = 1,按行翻转，dim = 2, 按列翻转

rot90(a);矩阵a整体逆时针旋转90度

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